Aqui vai um exemplo, a integral simples que eu perdi tempo na prova:
$$\int_0^\pi \sin{\theta}\cos^2{\theta} d\theta$$
Era só fazer $u(\theta)=\cos{\theta}$. Com $u(0)=-1$ e $u(\pi)=1$, e com o infinitesimal
$$du=\frac{du}{d\theta}d\theta=-\sin{\theta}d\theta$$
resultando em uma simples integral
$$\int_{-1}^{1}u^2du=\frac{2}{3}$$